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まず，メールリーダとメールサーバの関係を整理し，
それぞれ，どのような設定をすると，どう動くのかを考えてみることをお勧めします。

この質問だけだと，次のように不明な箇所が多く，
何とも答えようがないんです。

>例えば会社のメールを自宅で使用しているメールアドレスに転送する設定をした場合、自宅のパソコンを起動する前に会社のメールソフトを立ち上げてたら会社のメールソフトから見ることができるのでしょうか？

自宅のパソコンのメールリーダは，
どのメールサーバに接続してメールを取得するよう設定されているのでしょう？

>以前、フリーメールへ転送設定をしていたのですが、フリーメールをログインする前に会社のメーラを起動すると、メールが見れました。

ここでいうフリーメールとはどういうものですか？
どのメールサーバからメールを取得するのでしょうか？
ここでいう，会社のメーラというのも同様に，
どんなもので，どのメールサーバからメールを取得するのでしょうか？

>全てそうなのかなと思っていましたが、転送はメールをそのまま転送先にメールを飛ばしているので会社のメールサーバに残るってことはあるのでしょうか？

メールサーバ側の設定によって，残すようにも残さないようにもできると思います。
メールサーバの実装によっても，残せるものと残せないものがあります。

インターネットでは，メール一つとってみても，
多数の実装が使われており，実装ごとの違いがありますし，
設定によっても動作が変わります。
それを整理するには，メールという仕組みがどうなっているのか，
その辺を理解して，物事の整理して考えないと，なかなか答えにたどりつけません。