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>この環境の場合、ブロードキャストアドレスは　192.168.3.255　ですよね？

そうです。

>192.168.2.255　というアドレスは、192.168.2.ｘｘｘだけのブロードキャスト
>なのでしょうか。

いえ，そうではなくて，ユニキャストアドレス，つまり，
ブロードキャストではなく，特定のノードを指すアドレスとなります。
ビット列に直して考えると，
192.168.2.255/22というアドレスは，
ネットワーク番号：11000000.10101000.000000
ホスト番号：10.11111111
となります。
そして，ホスト番号部分のビットには0と1の両方がありますから，
ユニキャストアドレスだということですね。

>192.168.1.ｘｘｘにはパケットは流れないのでしょうか。

192.168.2.255は特定のノードを表すだけですから，
そのノードにパケットが届くだけです。

>192.168.3.255との違いがわかりません。

こちらはビット列にすると
ネットワーク番号：11000000.10101000.000000
ホスト番号：11.11111111
となり，ホスト番号部分のビットが全部1ですから，
ブロードキャストアドレスになります。

ただし，そのネットワーク上のマシンのネットマスク値設定が正しくないと，
ブロードキャストを正しく扱えません。
動きがおかしいようだったら，ネットマスク値の設定が誤っているかもしれません。
ちなみに，/22のネットマスク値は255.255.252.0です。
そこを確認した方がいいでしょう。