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>nslookupコマンドで確認したところ、セカンダリはタイムアウトを起こしてました。

セカンダリサーバが正しく動いていないようですね。
それを正しく動くようにすることが第一歩です。

>プライマリが2002080612となっていて、セカンダリのラストシリアル2002080713となっていたりするのは問題はないことでしょうか？

セカンダリサーバは，自分のシリアル番号とプライマリのシリアル番号を見比べて，
自分のが古ければ，ゾーン転送することになっていますから，
セカンダリのシリアルの方が新しいとゾーン転送しません。
なお，ゾーン転送が完了すれば，セカンダリはプライマリと同じ情報を持つことになりますから，
シリアル番号の値も一致するようになるはずです。