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>たとえば、プロバイダから指示されたDNSでなくても、どこのDNSでもひとつ設定すれば、後は設定されたDNSが自分のところになくても、他のDNSをたどって調べてくれるんでしょうか？

そうです。
DNSサーバは問合せの送信元が誰なのか，普通は確認しませんから，
アクセス可能なDNSサーバのIPアドレスを設定すれば，
そのDNSサーバを利用できるはずです。
ただ，問合せを送ればDNSサーバに多少なりとも負担をかけることになりますし，
見知らぬ人からのアクセスでDNSサーバの負荷が高くなっては迷惑なので，
そういうことはせずに，
自分が契約しているプロバイダや自分の会社のDNSサーバを使うわけです。

> その場合DNSの階層でたとえば.jpを管理するDNSとかでも平気なんでしょうか？

上の話と同じことですが，
上位の階層を管理するDNSサーバほど負荷が増えていきます。
だから，ルートドメインのDNSサーバとか，JPドメインのDNSサーバとかに，
直接問合せを送るようなことは，避けた方がいいですね。